Respecto a los contactos que se tienen en una cuenta de Gmail, es mucho más sencillo de todo lo que habéis puesto.
No hace falta app alguna, para tenerlos en el
iPhone, simplemente en "ajustes", luego en "correo,contactos, calendario", metéis vuestro correo de Gmail( marcando que sincronice contactos), y ya está.
Luego en la parte de abajo, donde pone Contactos, le dais a cuenta por omisión Gmail, y así si guardáis un nuevo contacto, se guarda directamente en la cuenta.
Fácil y sin necesidad de instalar app, o hacer cosas raras
Saludos