Instalas mysql en tu ordenador, lo configuras y abres puertos si te hace falta. Después tendrás que hacer la base de datos que usarás, para lo cual es aconsejable phpMyAdmin (para lo que necesitarías también un servidor web y php). En lo que sea que uses en la web, tendrás que poner los datos de la base de datos en algún sitio, entre ellos el host, el nombre de la base de datos y el usuario. El host será tu ordenador, bien tu ip o algún dominio del tipo no-ip si no tienes ip fija.
De todos modos yo tampoco te lo aconsejo para nada, no sale a cuenta. ¿Cuánto te cobran por mysql? El gasto de electricidad de tener tu ordenador encendido siempre seguro que es mayor. Además la navegación se ralentizará bastante. Si usas un CMS para el foro, todos los textos estarán en la base de datos, no se usará la base de datos sólo para los registros.
!