Ese chipset, el H61, no es compatible con el Pentium G4560 ya que es un chipset 1155 y el que pides es 1151. Pero hay CPUs buenas para ese mismo socket (yo me iría a un i5 2500 o 3570 o alguno así), siempre y cuando la BIOS de la placa los soporte, ya que aparte del chipset solo sabemos que es un Acer premontado pero no sabemos la compatibilidad total de tu placa.
En este enlace vemos el mismo Acer XC600 llevando un i3 3220, y
aquí un usuario afirma que su Acer XC600 tiene un i5 3470 así que quizás el i5 3570/3570K sea soportado.
Luego métele la GPU que piensas, una RX470 o una GTX 1050Ti, la segunda consume menos ya que eso te preocupa, pero también te rendirá menos que la AMD. Amplía la RAM, imagino que tienes 2 módulos de 2GB, es mejor ponerte 2 de 4GB.
Ya con el tiempo cambias de plataforma, incluyendo el cooler, placa base nueva y demás.