Problema extraño... [Ec. Diferenciales inside]

Sin saber mucho sobre el tema, las propias ecuaciones de la ley de Enfriamiento son diferenciales. Supongo que para ambos casos te saldrán dos ecuaciones que difieran por algún factor de proporcionalidad. Aquella cuyo factor sea mayor en valor absoluto, será la más "efectiva", ya que la variación será mayor y más rápida.

Espero que te sirva de algo.

Muchas gracias por la respuesta. A ver si alguien más nos ilumina un poco.

Un salu2!

A "ojo" entiendo que parece mejor dejar enfriar por si solo y despues añadir la leche, no?

Yo en todo caso plantearia la ecuacion diferencial, y despues en un instante tx, añadiría la leche, y planteas la ecuación diferencial a partir de ahí. (vamos, dividir la solucion en dos trozos), y luego ya comparar tx = lo que sea con tx= 0 que es cuando pones la leche desde el principio. (Pero vamos, es una sugerencia)

Yo tampoco tengo mucha idea, pero así por intuición diría que es más eficiente enfriar con leche al principio.

La ecuación de enfriamiento parece ser esta:



Supongo que lo que hay que hacer es calcular el tiempo t necesario para enfriar de T0 a Tf en ambos casos. En el primer caso, al añadir leche fría se enfría en Tl (te sub ele, de leche) grados. En el segundo caso, se empieza en T0, transcurrido un tiempo t1 se enfría en Tl grados, y entonces calculamos el tiempo t2 restante para que se enfríe hasta Tf. La suma de t1 + t2 dará el tiempo t necesario en ese segundo caso.

Edito: cambio de idea, creo que es mejor enfriar con leche transcurrido un tiempo t1

quinito60 escribió:Hola a todos. En la asignatura de Ecuaciones Diferenciales nos han propuesto un ejercicio un tanto raro que me he quedado un poco tonto al verlo...xD

"Resolver la siguiente cuestión: ¿qué es más efectivo (rápido) para enfriar un café hasta una temperatura determinada; dejar enfriar algo el café y después verter una cantidad determinada de leche fría; o verter esa misma cantidad de leche fría y después dejar enfriar el café?"

Cómo narices planteo yo esto usando ecuaciones diferenciales? Había pensado en la Ley de Enfriamiento de Newton, pero me lío con el problema de valor inicial y no tengo ni idea. Encima el tío nos ha dicho que hay que demostrarlo de manera general, sin tomar temperaturas de leche, ambiente y café específicas (dice que si sabes hacerlo específicamente también sabes de forma general...)

Alguna ayuda?

Un salu2!

Es mejor dejar enfriar primero normal y posteriormente echar la leche fría. Hay mas diferencia de temperatura por lo que cambia más rapido la temperatura del cafe, (La temeperatura del ambiente, qeu es un foco termico no varía), no recuerdo la funcion de esta pero creo recordar que es una ecuacion derivada. Despues al verter la leche fría esto depende de la masa de ambos líquidos y de su capacidad calorifica (una constante del "material")

Un saludo

quinito60 escribió:Hola a todos. En la asignatura de Ecuaciones Diferenciales nos han propuesto un ejercicio un tanto raro que me he quedado un poco tonto al verlo...xD

"Resolver la siguiente cuestión: ¿qué es más efectivo (rápido) para enfriar un café hasta una temperatura determinada; dejar enfriar algo el café y después verter una cantidad determinada de leche fría; o verter esa misma cantidad de leche fría y después dejar enfriar el café?"

Cómo narices planteo yo esto usando ecuaciones diferenciales? Había pensado en la Ley de Enfriamiento de Newton, pero me lío con el problema de valor inicial y no tengo ni idea. Encima el tío nos ha dicho que hay que demostrarlo de manera general, sin tomar temperaturas de leche, ambiente y café específicas (dice que si sabes hacerlo específicamente también sabes de forma general...)

Alguna ayuda?

Un salu2!

quinito60 escribió:Hola a todos. En la asignatura de Ecuaciones Diferenciales nos han propuesto un ejercicio un tanto raro que me he quedado un poco tonto al verlo...xD

"Resolver la siguiente cuestión: ¿qué es más efectivo (rápido) para enfriar un café hasta una temperatura determinada; dejar enfriar algo el café y después verter una cantidad determinada de leche fría; o verter esa misma cantidad de leche fría y después dejar enfriar el café?"

Cómo narices planteo yo esto usando ecuaciones diferenciales? Había pensado en la Ley de Enfriamiento de Newton, pero me lío con el problema de valor inicial y no tengo ni idea. Encima el tío nos ha dicho que hay que demostrarlo de manera general, sin tomar temperaturas de leche, ambiente y café específicas (dice que si sabes hacerlo específicamente también sabes de forma general...)

Alguna ayuda?

Un salu2!

Plantéate tu sistema primero. Tu sistema es una taza y su entorno a temperatura ambiente. Tu taza tiene una superficie S y a través de esta superficie hay una transferencia de calor. Lo que sabemos por balance de energía de tu sistema en régimen estacionario es que hay una pérdida de calor constante en el tiempo, proporcional a la diferencia de temperatura entre la taza (T en genérico) y el ambiente (Tamb).

dQ/dt = µ·S(T-Tamb)

siendo µ el coeficiente de transferencia de calor (convección natural) y Ta la temperatura ambiente. dQ a su vez es m·C·dT, siendo C el calor específico de la leche. Poniéndo dT y toda la expresión que sea de temperaturas a la izquierda de la ecuación y la expresión con dt y lo que eventualmente también dependiese del tiempo a la derecha obtenemos una ecuación diferencial resoluble directamente integrando cada lado de la misma.

dQ = m·C·dT, luego

dQ/dt = m·C·dT/dt = µ·S(T-Ta), y reordenando

dT/(T-Ta) = (µ·S/m·C)·dt

A un lado integraríamos de T=T0 a T=Tamb y al otro de t0 a tf (t0=tiempo inicial y tf=tiempo final hasta que llega a Tamb)

al integrar nos queda un logaritmo a un lado y una costante al otro. Cuando despejamos la temperatura, nos da la ley de enfriamiento que puso chant, llamando (µ·S/m·C) = k:



En dinámica de sistemas, esta ecuación no es más que la solución explicita de un sistema dinámico lineal de primer orden, con constante de tiempo 1/k. La acción de echar un chorro de leche a una temperatura Tamb es equivalente a excitar el sistema dinámico con una T(t)=Tamb constante, es decir, una entrada es escalón unitario, con constante de multiplicación Tamb.

La respuesta del sistema a esta excitación es directamente la exponencial que ya advierte la solución explícita:



Ahora bien, a la vista de la gráfica ¿qué es mejor, echarle la leche antes o después para que llegue más rápido? Viendo la anterior gráfica, vemos que a medida que el sistema llega a Tamb, el tiempo necesario para lograr un incremento de temperatura ΔT, el tiempo necesario aumenta asintóticamente. Es decir, al principio el sistema se enfría rápidamente y, a medida que llegamos a Tamb, el enfriamiento se hace más lento. Luego es mejor esperar a que se enfríe primero el sistema por sí mismo, ya que lo hará rápidamente y luego echarle la leche para llegar a Tamb de forma más rápida.

G0RD0N escribió:
Plantéate tu sistema primero. Tu sistema es una taza y su entorno a temperatura ambiente. Tu taza tiene una superficie S y a través de esta superficie hay una transferencia de calor. Lo que sabemos por balance de energía de tu sistema en régimen estacionario es que hay una pérdida de calor constante en el tiempo, proporcional a la diferencia de temperatura entre la taza (T en genérico) y el ambiente (Tamb).

dQ/dt = µ·S(T-Tamb)

siendo µ el coeficiente de transferencia de calor (convección natural) y Ta la temperatura ambiente. dQ a su vez es m·C·dT, siendo C el calor específico de la leche. Poniéndo dT y toda la expresión que sea de temperaturas a la izquierda de la ecuación y la expresión con dt y lo que eventualmente también dependiese del tiempo a la derecha obtenemos una ecuación diferencial resoluble directamente integrando cada lado de la misma.

dQ = m·C·dT, luego

dQ/dt = m·C·dT/dt = µ·S(T-Ta), y reordenando

dT/(T-Ta) = (µ·S/m·C)·dt

A un lado integraríamos de T=T0 a T=Tamb y al otro de t0 a tf (t0=tiempo inicial y tf=tiempo final hasta que llega a Tamb)

al integrar nos queda un logaritmo a un lado y una costante al otro. Cuando despejamos la temperatura, nos da la ley de enfriamiento que puso chant, llamando (µ·S/m·C) = k:



En dinámica de sistemas, esta ecuación no es más que la solución explicita de un sistema dinámico lineal de primer orden, con constante de tiempo 1/k. La acción de echar un chorro de leche a una temperatura Tamb es equivalente a excitar el sistema dinámico con una T(t)=Tamb constante, es decir, una entrada es escalón unitario, con constante de multiplicación Tamb.

La respuesta del sistema a esta excitación es directamente la exponencial que ya advierte la solución explícita:



Ahora bien, a la vista de la gráfica ¿qué es mejor, echarle la leche antes o después para que llegue más rápido? Viendo la anterior gráfica, vemos que a medida que el sistema llega a Tamb, el tiempo necesario para lograr un incremento de temperatura ΔT, el tiempo necesario aumenta asintóticamente. Es decir, al principio el sistema se enfría rápidamente y, a medida que llegamos a Tamb, el enfriamiento se hace más lento. Luego es mejor esperar a que se enfríe primero el sistema por sí mismo, ya que lo hará rápidamente y luego echarle la leche para llegar a Tamb de forma más rápida.

bravo!!!


termodinámica pura y dura.. yo esto lo tengo bastante olvidado, pero tu explicación me ha hecho recordar muchas cosas de las q ni me acordaba.. si tuviera por aquí mis apuntes...

Madre de dios G0RD0N... eres mi dios, en todos los hilos que te leo. Secillamente impresionante.

Muchísimas gracias a todos por las respuestas.

Un salu2!

quinito60 escribió:Madre de dios G0RD0N... eres mi dios, en todos los hilos que te leo. Secillamente impresionante.

Muchísimas gracias a todos por las respuestas.

Un salu2!

Thanx quinito, nada de Dios, me alegro que te haya servido: a mi también para hacer un poco de brain training con estos conceptos ya un poco oxidados .

La verdad que si que es un placer leerte cada comentario de caracter físico o matemático que colocas en este foro, que ayudan mucho a todos los que estan estudiando y que no tienen tal nivel, y sobre todo en todos esos campos de la fisica que abarcas , y mas con el ITER como Firma, no se si lo habrás visto el cacharro (obviamente no terminado, si no el proceso de construccion) presencialmente pero debe darte un cosquilleo al pensar que si se va por el camino correcto, los problemas de abastecimiento de energía... ya no serán un problema.

[/Offtopic]