Vale, yo reconozco que no tengo mucha idea de cables HDMI, pero en serio, que si en la propia web de la organización encargada del standard HDMI pone (reposteo):
Q. What is the difference between a “Standard” HDMI cable and a “High-Speed” HDMI cable?
Recently, HDMI Licensing, LLC announced that cables would be tested as Standard or High-Speed cables.
* Standard (or “category 1”) cables have been tested to perform at speeds of 75Mhz, which is the equivalent of a 1080i signal.
* High Speed (or “category 2”) cables have been tested to perform at speeds of 340Mhz, which is the highest bandwidth currently available over an HDMI cable and can successfully handle 1080p signals including those at increased color depths and/or increased refresh rates. High-Speed cables are also able to accommodate higher resolution displays, such as WQXGA cinema monitors (resolution of 2560 x 1600).
Entiendo que aunque en la realidad el 99% de cables HDMI Standard puedan funcionar con 1080p, existe la posibilidad bajo ciertas circunstancias de fabricación o funcionamiento, ya sea por los componentes que esté conectando o por el audio que esté transmitiendo a la vez que el video, de que, por lo que sea, no funcionen correctamente.
EDIT: Bueno, dejando ya de lado el tema de los cables... has probado a conectar la play a la tele por la entrada HDMI Lateral? porque con tanto lio de cables... para mi que va a ser eso

según las especificaciones de ese modelo de tele, de las 3 entradas HDMI que tiene,
solo la entrada lateral está marcada como input 1080p, las otras pone simplink, que no tengo ni idea de lo que es, sinceramente, quizás incluya 1080p o quizás no, pero estaría bien probarlo.
http://es.lge.com/products/model/detail/3242pulgadas_37lg5000.jhtml# HDMI 1.3 (1080P input) LateralSalida de Auricualres Lateral
Ranura PCMCIA Lateral
AV Lateral
Supervídeo Lateral
Entrada RF
2 Euroconectores
Componentes (480i a 1080p)
Salida de Audio Digital Óptica
2 Entradas HDMI 1.3 (SIMPLINK)RGB para PC
Audio PC
Puerto de control RS-232
USB solo para servicio
Podría ser como las antiguas TV que tenían 3-4 Euroconectores pero solo 1 era RGB, para ahorrar en la fabricación. Ya nos comentarás, suerte.