Hola, este error ha pasado con frecuencia, la causa al parecer es la propia tarjeta gráfica, a través de estos dos hilos se hace un seguimiento del problema
hilo_pc-no-arranca-a-causa-de-tarjeta-grafica_1877366 hilo_tarjeta-grafica-impide-boot_1874973?hilit=gr%C3%A1fica%20impide%20boot#p1731869295 El compañero del primer enlace como podrás leer hizo de inicio lo siguiente:
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Resetear CMOS -Quitar la pila de la placa base y volverla a colocar- (Hecho, sin resultado positivo)
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Configurar BIOS -Desactivar la tarjeta integrada en la placa base, si la hubiera- (Mi placa base no tiene video integrado)
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Fuente de alimentación (Yo la descartaría, la GTX 690 me funciona perfecto y requiere más potencia que la HD 5870)
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Incompatibilidad PCIE (placa base) (Descartado ya que allí me había funcionado siempre)
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Cambio tarjeta buena por una rota (Descartado. Antes de entregar la fotografié pensando en eso que comentas, el número de serie de la tarjeta corresponde con el de la caja. Todo coincide con las fotos, manchas, pegatinas ligeramente levantadas)
Quedaría dentro de las pautas principales, desmontar el disipador de la HD 6870 para reaplicar pasta termica, y flashear/actualizar su Bios, pero haciendo esto te arriesgas a enmascarar el problema y posiblemente a darle motivos al vendedor para que llegado el caso te responsabilice del mal funcionamiento de la tarjeta.
De entrada puedes probar otra fuente de alimentación y comentarnos cual es la que usas ahora por ver sus características. Lo que está claro es que se cumplen casi todos los síntomas de que la tarjeta no está en buen estado, como ya has hecho, es imprescindible comentárselo cuanto antes a la persona que te la ha vendido y exigirle una solución en caso de que ninguno de los pasos anteriores haga reaccionar a la tarjeta.
Saludos