Los contactos se pueden sincronizar para guardarlos en la cuenta de Google que tenga el teléfono asociada.
Lo primero es ver qué cuenta de Gmail tiene en el teléfono, y ya a partir de ahí en el menú del teléfono buscar la opción de sincronizar contactos en la nube, y por lo tanto, en la cuenta de Gmail.
Depende del modelo estará en ajustes, cuenta de Google, y sincronizar.