Algunas laptop tienen configurado en la Bios una opción de ahorro de energía o similar y es lo que puede estar provocando que haya que esperar horas desde un apagado a un encendido. Prueba a entrar en la Bios manteniendo presionado uno de estos botones: F10, F2, Supr, 'Shift + Enter', o Esc. (suele ser F10 o Esc) y cuelga aqui una captura de la Bios si no es inconveniente para que te puedan guiar. Tambien es posible que por un error de montaje u otro motivo el portátil tenga un problema de refrigeración y genere más calor de la cuenta, eso haría que tardara en encender como medida de protección, en la Bios tambien se incluye un medidor de temperatura de sistema y de procesador (quizá, en el apartado "PC Health status", dentro del menú de la Bios), un Core2Duo a 2,4 Ghz no debería estar a más de 65º. Una serie de modelos se encienden dejando pulsado un par de segundos el botón de encendido, es muy rebuscado pero no sé si tenga algo que ver
¿Conectas la batería al encenderlo, o lo enciendes ya cargado?
Como comenta BigBoss22 tal vez la placa o un componente importante esté dañado, y en ese caso no suele merecer la pena repararlo, (sustituirlo) por coste es planteable comprar un portátil nuevo.
Saludos
