Yo he enchufado mil veces un disco duro con el ordenador encendido, no tiene por qué pasar absolutamente nada. De cara a la fuente de alimentación, no es más que un elemento más consumiendo su potencia. De cara a la placa base, lo más que te podría hacer es bloquearte el sistema, reiniciando se solucionaría.
Si, como dices, al poner el disco duro el ordenador se apaga, lo más probable es que esté estropeado y provoque cortocircuito. Supongo que si intentas encender el ordenador con él puesto tampoco puedes...
Malas noticias entonces, el disco está estropeado. No tienes forma de recuperar los datos, pues el proceso de sacar los platos del disco e introducirlos en otro está fuera del alcance de un usuario. Si los datos son realmente muy importantes, tendrás que acudir a una empresa de recuperación de datos, que tendrá las herramientas necesarias para sacar la información de los discos.
Lamento no darte una mejor solución, pero creo que no la hay...
Saludos