@SanPedro_ @adidi Puntualizo algunas cosas porque yo esos trámites los hice en enero y lo tengo relativamente fresco:
1. La inscripción en el Registro Civil a través del hospital es voluntaria. Puedes ir tú mismo al Registro o, como dice el compañero, si el hospital está en la red de registro te lo hacen ellos (que tarda mucho más). Para el registro sólo necesitas DNIs, el papel de nacimiento que te dan en el hospital y el libro de familia (si lo tenéis). Tendrás que rellenar la inscripción y el cuestionario del INE.
2.- Para hacer los trámites por internet con el certificado digital de la FNMT es suficiente, no es necesario el DNIe (y es más barato, y muchísima gente tiene y usa ese certificado)
3.- Si la baja la vas a pedir de manera presencial, el padre puede pedir y solicitar la baja de la madre si esta ya ha firmado la solicitud y va con su DNI y tarjeta sanitaria. Viene muy bien porque lo más seguro es que en la solicitud llevéis campos en blanco porque no sepáis exactamente que poner. El funcionario de la Seguridad Social os ayuda a terminar de rellenarlo.
4.- Para pedir la baja necesitáis un certificado de empresa (les decís que es para la baja paternal/maternal, ya sabrán lo que hacer). Ese certificado tiene que tener fecha posterior al parto, así que lo más normal es pedirlo cuando nace y recogerlo cuando os den el alta.
5.- Si vas presencialmente a pedir la baja, pide, además, cita para inscribir al niño/a en la seguridad social junto con uno de los padres (normalmente quien vaya a hacer el papeleo, por ejemplo, mi hijo está inscrito conmigo). Así te ahorras viajes.
6.- Una vez tienes todo lo anterior vas al centro de salud para la tarjeta sanitaria temporal y que le asignen pediatra.
