@patman Te están indicando esto porque para utilizar el auricular bluetooth el Home Cinema queda como inutilizado. Como te dijeron, yo al menos es lo que he visto en TV, la salida de audio de los auriculares anula a los altavoces de la TV, pero lo más probable es que no anule la otra fuente de audio (Home Cinema).
Dónde puedes tener el problema pues precisamente al conectar en determinada salida de audio, ya digo que hace como unos catorce años que no compro televisiones.
AUX IN es entrada, como ya has dicho, o bien AUX OUT o bien otra salida de audio, ya sea mediante jack o RCA.
El transmisor con independencia a dónde lo conectes necesita de alimentación, posiblemente te valga cualquier cargador de móvil, pero ahora necesitas no solamente esto sino que el cable llegue al enchufe donde vaya a estar conectado.
Por lo que indicas, personalmente, yo lo conectaría a una salida de audio del Home Cinema si está disponible; o bien si puedes hacerlo conectar el auricular bluetooth a cada uno de los dispositivos, por ejemplo si la consola admite el audio bluetooth conectarlo a la consola (normalmente el auricular anula el audio), Fire Stick lo mismo, .... o te puedes llegar a encontrar con que por ejemplo con el PC tienes conectado el auricular bluetooth, pero si quieres pasar al Fire Stick este utilizaría por defecto el Home Cinema quedando conectado el auricular bluetooth al dispositivo vinculado y en uso.
Si te sirve de ejemplo, yo el proyector lo tengo conectado al PC, en el proyector está el Fire Stick que casi nunca uso, si utilizo el Fire Stick el sonido me sale por el proyector en vez de por la barra de sonido o auriculares bluetooth, así que para no complicarme mucho, Prime Video, Netflix, HBO lo veo directamente en el PC y aquí puedo elegir entre varias salidas de audio, ya sea el monitor, PC, auriculares bluetooth. Para conectar al proyector los auriculares bluetooth tendría que emplear la salida de audio del proyector junto a un transmisor bluetooth para conectar el auricular al transmisor, y no me valdría el conectar al jack del monitor el transmisor bluetooth.
Dependiendo te puedes encontrar con auriculares en lo que escuchas lo que tengas que escuchar pero también por el Home Cinema; me parece recordar que en la TV de mi madre tuve que elegir la salida de audio de los auriculares para conectar el transmisor bluetooth y que cuando los tuviera puestos solo lo escuchara ella, si elegía otra salida se escuchaba por ambos sitios.
Mira en el Home Cinema que conexiones tienes, tanto de jack como de RCA y si son entradas o salidas, lo que necesitas es una salida de audio.
Lo mejor que puedes hacer es probar como te han dicho a la salida de auriculares del TV, y aquí ya ves si te anula el sonido del Home Cinema y empleas los auriculares o se escucha por ambos.