Primero: no depende de tus (ex) jefes que cobres el paro o no.
Lo siguiente que te tienes que plantear, es si vas a reclamar ante lo social por improcedencia del despido o no. Tienes 20 días hábiles para hacerlo a partir de mañana (contando que te despidieron hoy) eso te sitúa en el 2 de julio como fecha límite. Yo para asegurarme de no pasarme le descuento un par de días y te diría que si para el 28 de junio no te han pagado finiquito (liquidación) o tienes cualquier pero al respecto, vayas al smac y formalices la demanda. 
Firmaste algo? La carta de despido? La cantidad de dinero de la liquidación? Firmaste "no conforme" ?
Por otra parte: hay 2 cantidades de dinero que se cobran cuando te despiden. Bueno. Hay 3 porque una es la prestación del desempleo (el "paro") pero esa te la paga el estado, no la empresa. Las 2 que te tiene que pagar la empresa son: la liquidación y la indemnización. 
La liquidación es lo que te tienen que pagar si o si por lo que efectivamente has trabajado. Esto es: parte proporcional del mes de junio hasta el día de despido inclusive, parte proporcional de pagas extras (aunque sea prorrateada, una parte te corresponde cobrarla en junio) días de vacaciones no disfrutados y (ojo al parche con esto) días de preaviso del despido no efectivos. Te tienen que preavisar con 15 días de antelación y si no los cumplen (nadie lo hace), te los tienen que pagar. Eso es medio mes de salario, en tu caso. 
La indemnización es la compensación por despedirte. Depende de la modalidad de contrato, de la modalidad de despido y del tiempo trabajado. Y puede ser entre 0 y varios miles de euros. Y suele ser el principal motivo para reclamar en el juzgado el despido. Mi consejo a este respecto es que juntes los papeles YA (contrato, cualquier papel que te hayan entregado, carta de despido, nóminas...) y te vayas a un abogado laboral (vía sindicato o no) pero YA . Para que te calcule la indemnización y liquidación que te correspondan y definir si vas a reclamar o no. No te dejes ir con esto. 
Otra cosa que probablemente surja en esa reunión con abogado es una frase mágica: 
fraude de ley por lo que te he leído y por como se como funciona el mundo empresaurial en Españita, 99,9999999% seguro que en tu contrato / actividad laboral se ha incurrido en algún fraude de ley. Y eso puedes incluirlo en la demanda (más dinero)... O nulidad, pero la nulidad es difícil de conseguir, los abogados no suelen pelearla y los trabajadores no suelen querer volver, así que nos remitimos al vil metal. 
También puedes hacer el "padefo" (PAso DE FOllones) y simplemente esperar que te quieran pagar el "finiquito" incluyendo liquidación e indemnización, que ellos consideren, cuando ellos lo consideren y no hacer nada más (y no reclamar nada). Ellos encantadisimos de la vida de que lo hagas. 
 
 También puede que te creas que "no reclames y así te volverán a llamar" (padefo Deluxe)
Respecto al desempleo, tienes que pedir cita en tu oficina de empleo. La que te corresponda por domicilio. En realidad se piden 2 citas: ante el SEPE (estatal) para que te paguen la prestación y ante el servicio de empleo autonómico para que te den de alta como demandante de empleo y eso también te servirá para inscribirte a cursos y otras vainas. 
Tienes que calcular cuántos días de vacaciones no disfrutados corresponden a tu periodo de tiempo trabajado en 2024. Te han despedido a principios de junio así que son groso modo 5/12 partes del año. Esto lo calculas contra tus dias laborales de vacaciones (suelen ser 22 pero depende de convenio, contrato, etc) y le restas los que efectivamente hayas disfrutado. Ese número de días hábiles el servicio de empleo no te va a atender aunque pidas cita. Si está todo legal, el número de días de vacaciones no disfrutadas sale en la vida laboral (que puedes consultar en la sede electrónica de la seguridad social). Mañana por la mañana llamas al 012, seleccionas empleo y pides cita. Posiblemente ya ellos te digan una fecha de cita calculada en función de esto que te acabo de describir. Si por ejemplo son 7 días de vacaciones no disfrutadas, te dirán que el primer día que puedes acudir a oficina de empleo será el 14 de junio. 
Esto es importante, entre otras cuestiones, porque también tienes un plazo para formalizar esto, que es de 15 días hábiles contando desde el siguiente al de tus días de vacaciones no disfrutadas. Y porque aunque el número de días de prestación es fijo según cuántos hayas trabajado (1/3), cuando y cuánto empiezas a cobrarlo depende de cuando hayas formalizado la documentación. El "paro" siempre se cobra el día 10 del mes siguiente con la cantidad que corresponda del mes en cálculo, así que en tu caso, para cobrar algo (proporcional) el 10 de julio correspondiente al mes de junio, te interesa haber acudido a la oficina y formalizado papeles lo antes posible para que en julio cobres el máximo número de días de junio que puedas. 
Yo lo que haría sería llamar mañana para pedir cita intentando ya saber de antemano cuántos días de vacaciones no disfrutadas tengo para más o menos "clavar" la fecha de ir a la oficina. 
También... Tú estás pagando hipoteca, ¿verdad? ¿Incluye seguro de desempleo? Si la respuesta es "si" vete revisando eso también YA porque te interesa tirar de ahí lo antes y lo máximo posible. Y sino y mientras tanto ve calculando si el mes que viene puedes pagar la letra de la hipoteca o no para saber si tienes que ir al banco a poner cara de compungido para "ponerles al día" y "negociar" que opciones te dan al respecto. Yo de esto no sé porque toda la vida he vivido de alquiler, pero por aquí he leído que en estas situaciones se "negocia" con el banco (que no se que vas a "negociar", pero bueno)... El caso: que si te ves dificultado para pagar les tienes que avisar. 
Por último te voy a recomendar 2 sitios web: uno es laboro, que sigue siendo una maravilla de blog para informarse sobre cuestiones legales, argucias empresaurias, etc. Y el otro es "loentiendo" que tiene unas fichas buenísimas con detalle de los procedimientos a seguir, que papeles se piden, etc. 
Ahora estoy en el móvil (si. He escrito este leño con el móvil) y no voy a pegar enlaces, pero buscando por Google se encuentran fácil. 
Y tranquilo que de esto se sale. Bienvenido al club. Paciencia y al toro. Al fondo hay gominolas. 
![brindis [beer]](/images/smilies/nuevos2/brindando.gif)
Edit 
COMO QUE TE HAN DADO LOS PAPELES PARA FIRMAR Y TE HAS IDO? TUS JEFES SON GILIPO...???!!
sabes que ahora podrías ponerte muy malo, ponerte en baja médica y efectivamente no estás despedido? 
Sería mucho rollo y ahora no verías un duro (ni empezarías a cobrar paro) ... Pero menudos zoquetes. 
Supongo que en la seguridad social si te habrán dado de baja (es lo que les cuenta a ellos para dejar de pagar cotización por ti). Eso lo deberías poder ver en la sede electrónica de seguridad social. Si la seguridad social tiene tu número de móvil, te envían un SMS cuando se cursa tanto alta como baja. Si lo has recibido... Bueno... No sé a qué equivale. Es que eso no me ha pasado nunca xD