Alguien me explica esta integral? (sencilla)

Miralo desde aquí, le das a show more steps: http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... x%29+dx%29

Intento poner el resultado pero no se si permitirá hotlinking:.

Al ser una derivada casi inmediata (no directa), no puedes integrar sinx por -cos y ya está. Necesitas usar la regla de la cadena inversa. Entonces, para hacer el inverso de la regla de la cadena necesitas tener la derivada de la función a integrar, que en este caso es una a multiplicando.
derivada de : -cos(ax) = sinx * a*1 // integral de: sinx*a*1= -cos(ax)

Entonces si pones una a (constante) multiplicando, como sabes, has de ponerla en el resultado final dividiendo, de manera que un término multiplicando y dividiendo se anulan.

Por lo que si quieres derivar sin(ax), simplemente pones una a-> sin(ax)*a y integras (según la regla de la cadena inversa) que seria: -cos(ax) y además, como al principio le has añadido una a, tienes que igualar los términos añadiendo al resultado final una a dividiendo.

Sale por cambio de variable ax = t

dt = adx o lo que es lo mismo dt/a = dx

Sustituyes en la integral y te queda algo así:

int [(sen t)dt/a]

Sacas fuera esa "a" que está dividiendo y te queda una integral inmediata que se transforma en -cost/a. Deshaces el cambio de variable (t = ax) y el resultado es ese.

Ammm muchas gracias a los 3, es que pensaba que "a" era como las "x", es decir, una variable.

muchas gracias de nuevo!

Offtopic:
Que viejo me habéis hecho en un momento ya ni me acuerdo como se hacian, que mal se me daban las mates maeeee

Con las derivadas y las integrales, tuve un maestro que no se enteraba de nada, y claro, así nos enterábamos los alumnos: eran y siguen siendo un misterio insondable para mí.

Buenas, vengo con una integral, con una solucion mas tonta aun, pero es solamente una matiz que no entiendo:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+((e^(2x)%2Be^x)+/(e^x%2B1)+dx)

Haciendo esa integral, segun de que modo, me sale de una forma u otra.

Lo primero que hago es sustituir
e^x= t,
e^x*dx= dt, dx= dt/e^x, dx= dt/t

Entonces me sale esta integral:

(t^2+t / t+1) dt/t, pues bien si simplifico me sale que:

(t*(t+1) / t*(t+1) )*dt, entonces quito numerador y denominador y me sale dt, entonces la integral de dt es t, y al volver a sustituir me queda que es igual a e^x que es lo que me sale con el programa.

Sin embargo, sin intento hacerlo como una integral racional, me sale como L |1+t| = L|1+e^x|, es decir:

(t^2+t / t+1) dt/t ==> A/t + B/(1+t), entonces simplificando queda: (A+B)*t + A / t*(t+1), ahora con la identificacion de coeficientes, queda que A=0, y A+B=1 donde B=1.

Y ahora si vuelvo a sustituir en A/t + B/(1+t), me queda integral de B/(1+t)*dt = 1/(1+t)*dt y por lo tanto que la solucion es L |1+t| = L|1+e^x|

Alguien me explica que he hecho mal, para que me salgan dos soluciones diferentes? creo que el proceso es correcto en ambos.