Depende del router tendrá o no según que habilidades con el USB (o casi ninguna), lo más básico sería que al menos te dejase crear un servidor FTP y que con un cliente pudieses conectar a tu IP y mover archivos.
Para cosas más avanzadas puede que no te cumpla ese router o routers mejores, y tengas que montar algo propio, como un miniPC o una Raspberry Pi debidamente configurada para ofrecerte los servicios que quisieses. Te tocaría empaparte en ese caso bastante del tema e invertirle algo de tiempo y dinero si es hardware que no posees.
