Sobre los mandos puedes encontrar un hilo específico, con mucho más detalle, pero te resumo un poco.
El modelo lo puedes ver en la parte trasera, se indica con una letra mayúscula separada del resto (a la derecha). Si la letra es H no pagues por el mando ni un solo céntimo aunque este un una caja precintada: dejan de funcionar porque sí, sin ni siquiera usarlos. Si es A o M y está bien testeado (para ello recomiendo comprarlo a alguien que te pueda certificar que es así, o una tienda donde puedas devolverlo si algún botón no va; al vendedor que le compré el mío en Wallapop, tenía puesto en el anuncios que que estaba todo probado, hasta los motores para la vibración) puedes comprarlo tranquilamente.
La memory card con FMCB de la fat te sirve para la slim (salvo que sea modelo 9xxxx, que no es el caso).
Sobre el lector. Puedes desmontarlo y comprobar los motores uno a uno (son 2), limpiarlos a conciencia y comprobar si giran aplicándoles una tensión de 5V (si tienes una powerbank puedes comprobarlo facilmente, solo rompiendo un cable de carga USB). Tiene toda la pinta de que están bloqueados por suciedad. Si aun limpios no giran, toca reemplazarlos por otros que encuentras en cualquier tienda de electrónica, no es necesario que sea específico del a PS2 (no es más que un motor genérico con un tornillo sin fin). Si giran, pero montándolos en la consola siguen sin hacer nada, entonces ya hay que empezar a hacer mediciones en la placa para ver porqué no le llega la tensión necesaria a los motores...