Si se le ha terminado/va a terminar el visado y no tiene nada, puede entrar en el país 3 meses como turista, y extender esos 3 a otros tres con una prorroga de estancia. Para la prorroga tendrá que justificar el motivo, en el caso de mi novia por estar matriculada en una escuela de español se la concedieron, pero ya depende de extranjeria y con quien te topes.
Para lo demás: residencia no le van a dar a no ser que esté casado o sea pareja de hecho, o tengas algún contrato de trabajo o estudios, en cuyo caso en cuanto termine tendrá que abandonar el país.
Aunque la ley creo que no es explícita, extranjería tiene la última palabra siempre, si tienes un buen día, con el contrato podrás obtener permiso de trabajo, pero si es algo que un español "puede hacer" o son pocas horas también es posible que lo rechacen.
Mi consejo es que si está en la universidad, se matricule de otras asignaturas, hay un mínimo de horas que debe cumplir, pero la universidad le podrá aportar toda la documentación necesaria y no tendrá problemas.
Por otro lado lo de casarse o hacerse pareja de hecho, al menos lo segundo depende de los requisitos de cada localidad (estar empadronado x tiempo, convivir x tiempo, testigos, etc...) por lo que si quiere tirar por ese camino es conveniente que se informe bien ya que lo que piden en una ciudad puede ser totalmente distinto a otra cercana, aun siendo de la misma comunidad. No todo es decir "me caso" y ya está, hay muchos trámites de por medio también.
Para tema pareja de hecho o matrimonio, si no recuerdo mal debe de estar en situación regular en españa en el momento de la solicitud.
Lo más sencillo desde mi punto de vista: que siga matriculado en la universidad, tendrá que pagar pero no complicará la vida a nadie y así tendrá tiempo de ver si la relación sigue adelante por buen camino o no.
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