la diferencia entre estar en UGT, cocos, CNT or whatever en esta clase de casos es el profesional laboral que te va a tocar (el abogado que llevara tu caso) mas que cualquier otra cosa.
en este caso lo que te perjudica es que los sindicatos suelen establecer una pauta de "pagas menos cuanto mas tiempo lleves afiliado", con lo cual cambiarte a otro sindicato te supondra costas mayores, aunque puede tener beneficios mayores.
mi consejo es que busques una segunda opinion, te han aconsejado CNT, tambien puedes buscar abogados laboralistas en las paginas amarillas (de hecho, salvando un cierto porcentaje de descuento por afiliacion, en realidad todos te van a cobrar mas o menos lo mismo porque las minutas estan especificadas por el colegio de abogados y los abogados deben estar colegiados para poder ejercer). con lo que me quiero referir con este parrafo es que para buscar una segunda, o tercera o enesima opinion no te tienes que afiliar a nada ni cambiar tu afiliacion a nada... solo buscar abogado y pedir cita. exponer tu caso y pagar la consulta... y a partir de ahi pues ya caben muchas opciones para un solo post.
respecto a los correos y la demostracion.... algo que he leido muchas veces en cierta pagina que te aconsejare al final: quien tiene que demostrar que no ha discriminado es la empresa. no eres tu quien tiene que demostrar que ha sido discriminada. es una de las pocas cosas buenas que quedan en la legislacion española de algo, que en los juicios laborales el que tiene casi todas las de ganar es el trabajador (a poco que el abogado no sea un jodido manta, que tambien los hay).
en este caso concreto. puestos a demandar, tu abogado formalizara una documentacion ante el juzgado, el juzgado requerira a la empresa donde trabajabas (la "empresa cliente") y esta debera proveer toda la informacion que la parte contraria (TU) requiera, incluyendo correos o lo que sea. por otra parte, tambien se puede convocar a cualquier persona que pueda testificar que "tu trabajabas para X", sea cualquier persona de la empresa X (actual o antigua), cualquier persona externa con la que interactuaras mientras trabajabas para X (un proveedor, mensajero o cliente, por ejemplo). muy dudoso me resulta que nadie quiera testificar que tu trabajabas en un determinado sitio, y dudo que la empresa en cuestion los unte a todos para que no testifiquen "a favor tuya".
de hecho se puede hacer hasta sin requerir los correos, porque se puede requerir algo mucho mas facil: la anotacion de entradas y salidas del edificio, que si no recuerdo mal debe ser guardada durante 5 años. si la empresa omite o deliberadamente no presenta pruebas todo ello corre a tu favor porque como ya indique en principio son ellos quienes en todo caso tendrian que demostrar que tu no trabajabas para ellos. otra cosa facil de requerir es la documentacion contractual entre las dos empresas (la proveedora y la cliente) donde constara tu "transfer" y en que condiciones se hizo. todo ello es facilmente requerible llegados a una situacion de juicio.
en fin, resumiendo: tu no tienes que aportar la documentacion que demuestra que trabajabas para X. la tiene que aportar X. en caso de que no la aporte es "tu palabra contra la suya". con la diferencia de que en juicios laborales la palabra del trabajador por si sola tiene muchisimo peso.
lo que si hay una cosa que quiero llamar la atencion y es que no se hasta que punto la demanda por cesion ilegal puede perjudicar tu posicion con la empresa proveedora, con la que supongo que querras estar a buenas por la posibilidad de seguir trabajando con ellos en otro cliente. ten presente esta cuestion cuando trates el tema con abogados.
pd. yo para muchos temas relacionados con cuestiones laborales, despidos, demandas y etc suelo aconsejar visitar la pagina web de laboro (en google buscando por el nombre sale la primera). hablan claro y describen todo lo que tiene que y puede hacer el trabajador para defenderse en variedad de situaciones como esta. aparte eso, la pagina es lo que hacen en los ratos libres y su trabajo es litigar en juicios laborales asi que tienen un servicio de asesoria al que se puede acudir por correo. no es gratuito, pero puede ser una opcion para conseguir una valoracion personalizada.
ppd. no soy rrpp de esa gente. la aconsejo porque son de los que tengo referencias en la materia. si las tuviera igual de buenas de otro tambien lo recomendaria. de hecho conozco un muy buen abogado laboralista no relacionado con sindicatos cerca de donde resido, pero no te va a ser de mucha ayuda que te de referencias de un abogado en gran canaria xD