Por el centro tienes, La Catedral, previo pago, aunque merece la pena. La tumba de los reyes católicos, previo pago, realmente como sitio turístico no tiene mucho encanto, no se si te lo recomendaría, más allá de ver donde se encuentran enterrados, el resto son básicamente cuadros y pinturas, que para el que entienda, debe estar muy bien.
Luego, para la Alhambra, la última vez que quise ir no hubo manera de pillar entradas de día, espero que vayas prevenido, de todas formas, también hay 2 rutas nocturnas. Yo hice la de los jardines y personalmente me gustó, pero si no puedes estar todos los días en Granada la usaría como complemento de la principal, ya que solo tienes acceso a una parte muy reducida del recinto. Hay una web para comprar las entradas, las distintas opciones que ofrecen, y visitas guiadas por la ciudad, quizá de ahi puedas sacar más ideas.
A mí personalmente el barrio del Sacromonte y el Albaicín no me gustan, más allá del mirador de San Nicolás, pero cuestión de gustos.