Pues con cookies, pues al iniciar sesión y comprobar que tu eres tu realmente (verificando contraseña y usuario) genera un cookie, un código el cual en el servidor lo asigna a tu cuenta y cuando detecta que entras en la web con ese código, automáticamente te inicia la sesión sin que tengas que introducir nombre y contraseña. Normalmente tienen una fecha de caducidad por seguridad. Eso permite que aunque se obtenga la cookie no se obtiene la contraseña, pero si permitirá a alguien que haya copiado el cookie acceder en tu cuenta puesto que el servidor al ver la cookie consideraría que eres tu, aquí viene la cosa que al tener una fecha de caducidad, al pasar un tiempo dejarían de tener acceso a tu cuenta.
Al guardar la contraseña con el navegador, lo que hace es apuntarse tal cual nombre y contraseña, en algunos casos el navegador ni las encripta y en muchos casos pueden ser consultadas desde el propio navegador, estas luego son automáticamente puestas en los huecos para hacer login, cuando la web te obligue a iniciar sesión.
Lo segundo es menos seguro, sobretodo si no esta encriptadas ni tiene contraseña maestra, puesto que cualquier persona puede acceder a la contraseña cosa que suele tener más riesgo ya que la persona en concreto podría hacer cambios en la cuenta teniendo la contraseña, a diferencia de las cookies que en la mayoría de webs al intentar hacer algún cambio importante en al cuenta le pediría la contraseña y no podría hacer ningún cambio.
