Duda Cálculo II (Desarrollo en serie de potencias)

27 jun 2012 23:13

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Buenas, el caso es que tengo dentro de una semana recuperación de esta asignatura y estoy atascado con este tipo de problemas:



El caso es que cuando lo dimos en clase no me enteré mucho (fallo mío) y ahora me lo estoy mirando y no hay por donde cogerlo (los apuntes de la universidad son un truño).

Lo que yo sé es que el desarrollo de lo que te dan, desarrollándolo por Taylor (no sé si se expresa así) es: 1 - x^2 + x^4 - x^6 ···

Para el de arctan(x) pues no estoy seguro, pero supongo habrá que hacer algo con que la derivada de la arctan(x) es 1/(1 + x^2), ¿así que quizás haya que hacer la integral del desarrollo y sería esa la solución? Es decir, expresar en forma de sumatorio x - (x^3)/3 + (x^5)/5 - (x^7)/7 ···

Y para el de la derecha pues la verdad no tengo ni idea por donde cogerlo, si alguien me puede echar un cable se lo agradecería eternamente.

Por último, si alguien tiene unos apuntes sobre multiplicadores de Lagrange buenos también se lo agradecería.

Muchas gracias.

Perdón si no debería ir aquí el hilo.

28 jun 2012 00:27

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No me acuerdo. Llevo un rato mirándolo y no encuentro la solución para el segundo. Para el primero como bien tú dices basta con fijarse en que la derivada de la arcotangente es la expresión dada. Para la otra supongo que podrás aplicar de alguna forma maravillosa el lema del sandwich. De todas formas si quieres una buena referencia puedes consultar el libro "Calculus" de Spivak, con ejemplos y una teoría probablemente más legible que la de los apuntes.

PD: Por si no tienes un ejemplar a mano creo recordar que puedes encontrar alguna versión online para echar un vistazo al documento.

28 jun 2012 11:01

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No me acuerdo. Llevo un rato mirándolo y no encuentro la solución para el segundo. Para el primero como bien tú dices basta con fijarse en que la derivada de la arcotangente es la expresión dada. Para la otra supongo que podrás aplicar de alguna forma maravillosa el lema del sandwich. De todas formas si quieres una buena referencia puedes consultar el libro "Calculus" de Spivak, con ejemplos y una teoría probablemente más legible que la de los apuntes.

PD: Por si no tienes un ejemplar a mano creo recordar que puedes encontrar alguna versión online para echar un vistazo al documento.

¡Muchas gracias por responder!. He estado buscando y he encontrado algo que probablemente sea lo que haya que hacer (criterio del sandwich como bien decías), o parecido al menos http://es.scribd.com/doc/7484719/Spivak ... II-Espanol (página 650 del PDF, 647 del libro). Ahí hay una con un seno pero bueno, aplicándolo a la del ejercicio habría que acotarlo entre 0 < FUNCIÓN <= 1/(2n) ¿no? Luego ya no estoy seguro del resultado final, como el sumatorio de 1/(2n) es 1/2 del sumatorio de 1/n (la serie armónica, que diverge) pues no sé, ¿el resultado del sumatorio es infinito? Es que no sé, en este modo de verlo no me encaja ni para que influye el (-1)^n del numerador ni para que te dice en el enunciado que lo calcules a partir de lo que te dan.

En fin, voy a seguir leyendo a ver si encuentro algo más.

Gracias de nuevo.

28 jun 2012 14:24

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La idea es que encuentres otras funciones, A(x), B(x) tales que si f(x) es la serie original puedas decir:

A(x) <= f(x) <= B(x)

Donde de alguna manera A y B tienen que estar relacionadas con la función del enunciado (por eso de que es la pista) y converger al mismo valor.

Si tomas A(x) = 0 y B(x) la serie armónica, tienes que tu serie suma a algo mayor que 0 y menor o igual que infinito. Es decir, no es ningún resultado demasiado satisfactorio . Era únicamente una idea aplicar este lema pero no te niego que a lo mejor sea una idea feliz y se pueda resolver de manera más sencilla o directa.

28 jun 2012 15:02

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La idea es que encuentres otras funciones, A(x), B(x) tales que si f(x) es la serie original puedas decir:

A(x) <= f(x) <= B(x)

Donde de alguna manera A y B tienen que estar relacionadas con la función del enunciado (por eso de que es la pista) y converger al mismo valor.

Si tomas A(x) = 0 y B(x) la serie armónica, tienes que tu serie suma a algo mayor que 0 y menor o igual que infinito. Es decir, no es ningún resultado demasiado satisfactorio . Era únicamente una idea aplicar este lema pero no te niego que a lo mejor sea una idea feliz y se pueda resolver de manera más sencilla o directa.

Mmmm, la verdad mucho no hice, pero bueno, por lo menos los negativos ya nos los hemos quitado xDD.

Pensándolo ahora de nuevo lo que se me ocurre es, como la que te dan es alterna, simplemente encajarla "a saco" entre (-1/2)(1/(1+x^2)) <= Función <= 1/2(1/(1+x^2)), es decir, simplemente enacjarlas, pero entonces no se cumpliría para el n=1, de ahí que me saque el 1/2 de la manga. Lo que no sé si está bien que se pueda meter "a saco" y que luego el desarrollo sea lo mismo pero con todos los términos multiplicados por 1/2 también, ni tampoco si la negativa es como la positiva alternando los signos. En fin, que ganas de hacer el examen y quitarme esto ya.

Gracias por responder, me estás iluminando paso a paso