Pregunta tonta de limites

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Hola!
Necesito que me echeis una mano con este limite tonto que se me esta resistiendo:

lim (cos(x))^(1/sin(x))
x->o
Se que da 1. Pero no entiendo el porque.

Gracias de antemano!
Aplica logaritmo neperiano:

Si lim (cos(x))^(1/sin(x)) = Y
x->o

Ln[Y]=Ln[lim (cos(x))^(1/sin(x))]


=(1/sin(x))*Ln[cos(x)]

Mira a ver si sales por ahí. En general las formas 1^infinito, 0^0, infinito^0 se resuelven aplicando Ln ;)

Saludos
nico_077 escribió:Hola!
Necesito que me echeis una mano con este limite tonto que se me esta resistiendo:

lim (cos(x))^(1/sin(x))
x->o
Se que da 1. Pero no entiendo el porque.

Gracias de antemano!


Por la regla de lhopital creo que es, derivas 1 que es igual a cero, y derivas sen (x) q es Cos (x), evaluado en cero es igual a uno, te queda el coseno elevado a 0/1( que es cero) y el límite es igual a 1 porque algo elevado a cero es uno...

lim (cos(x))^(1/sin(x))
x->o

aplicando lhopital a la indeterminación:

lim (cos(x))^(0/cos(x))
x->o

evaluas todo en 0 y te queda 1^(0/1) = 1
JoseFCB escribió:
nico_077 escribió:Hola!
Necesito que me echeis una mano con este limite tonto que se me esta resistiendo:

lim (cos(x))^(1/sin(x))
x->o
Se que da 1. Pero no entiendo el porque.

Gracias de antemano!


Por la regla de lhopital creo que es, derivas 1 que es igual a cero, y derivas sen (x) q es Cos (x), evaluado en cero es igual a uno, te queda el coseno elevado a 0/1( que es cero) y el límite es igual a 1 porque algo elevado a cero es uno...



L'Hôpital solo servía para cuando daba 0/0 e infinito/infinito. El caso que expone da 1^infinito.
edu_mambo69 escribió:
JoseFCB escribió:
nico_077 escribió:Hola!
Necesito que me echeis una mano con este limite tonto que se me esta resistiendo:

lim (cos(x))^(1/sin(x))
x->o
Se que da 1. Pero no entiendo el porque.

Gracias de antemano!


Por la regla de lhopital creo que es, derivas 1 que es igual a cero, y derivas sen (x) q es Cos (x), evaluado en cero es igual a uno, te queda el coseno elevado a 0/1( que es cero) y el límite es igual a 1 porque algo elevado a cero es uno...



L'Hôpital solo servía para cuando daba 0/0 e infinito/infinito. El caso que expone da 1^infinito.


Vaya... [+risas] Pero entonces no podrá tirar con el logartimo neperiano, sino con el decimal... [comor?] Estaré expectante a ver como termina esto de todas maneras, así salgo de dudas...
Bueno yo casi nunca he trabajado con el logaritmo decimal y no estoy seguro de si se puede usar [+risas]

Lo importante es que al final como te queda que el límite es igual a Ln[Y], tienes que deshacer el cambio poniendo que Y es e elevado a la solución, por lo que si lo haces con decimales, pondrías que es 10 elevado a la solución, pero no estoy seguro de esto.

Saludos
edu_mambo69 escribió:Bueno yo casi nunca he trabajado con el logaritmo decimal y no estoy seguro de si se puede usar [+risas]

Lo importante es que al final como te queda que el límite es igual a Ln[Y], tienes que deshacer el cambio poniendo que Y es e elevado a la solución, por lo que si lo haces con decimales, pondrías que es 10 elevado a la solución, pero no estoy seguro de esto.

Saludos


Conclusión: No son horas [+risas] [+risas] [+risas] A dormir xD
nico_077 escribió:Hola!
Necesito que me echeis una mano con este limite tonto que se me esta resistiendo:

lim (cos(x))^(1/sin(x))
x->o
Se que da 1. Pero no entiendo el porque.

Gracias de antemano!


Limites direccionales.

Tanto acercándote al límite por la izquierda como por la derecha, el límite tiende a 1, con lo que al estar en una dimension y por el Teorema de Cauchy, puedes afimar que el límite existe y tiende al valor de los límites direccionales.

La gracia de este problema estaría en evaluarlo en pi/2, donde los direccionales tienden a +/- infinito en cada lado, con lo cual hay una discontinuidad de salto inevitable y el límite no existe.

JoseFCB escribió:
nico_077 escribió:Hola!
Necesito que me echeis una mano con este limite tonto que se me esta resistiendo:

lim (cos(x))^(1/sin(x))
x->o
Se que da 1. Pero no entiendo el porque.

Gracias de antemano!


Por la regla de lhopital creo que es, derivas 1 que es igual a cero, y derivas sen (x) q es Cos (x), evaluado en cero es igual a uno, te queda el coseno elevado a 0/1( que es cero) y el límite es igual a 1 porque algo elevado a cero es uno...

lim (cos(x))^(1/sin(x))
x->o

aplicando lhopital a la indeterminación:

lim (cos(x))^(0/cos(x))
x->o

evaluas todo en 0 y te queda 1^(0/1) = 1


Ojo a cómo derivas un cociente: la derivada del cociente no es el cociente de derivadas, necesitas aplicar la regla de la cadena

edu_mambo69 escribió:Aplica logaritmo neperiano:

Si lim (cos(x))^(1/sin(x)) = Y
x->o

Ln[Y]=Ln[lim (cos(x))^(1/sin(x))]


=(1/sin(x))*Ln[cos(x)]

Mira a ver si sales por ahí. En general las formas 1^infinito, 0^0, infinito^0 se resuelven aplicando Ln ;)

Saludos


No he visto en mi vida esto. En todo caso, puedes usar la composición de funciones, el caso de f(x)^g(x) = e^Ln( f(x)^g(x) ), luego lim (f(x)^g(x)) = e^lim(g(x) Ln(f(x))
G0RD0N escribió:...


No sé de qué os puede sorprender la sesuda respuesta. Todo el mundo sabe que Gordon Freeman es un físico y matemático brillante... ;)
Scylla escribió:
G0RD0N escribió:...


No sé de qué os puede sorprender la sesuda respuesta. Todo el mundo sabe que Gordon Freeman es un físico y matemático brillante... ;)


Jaja, sí y que de vez en cuando revienta cabezas de headcrabs con una palanca roñosa XD
G0RD0N escribió:No he visto en mi vida esto. En todo caso, puedes usar la composición de funciones, el caso de f(x)^g(x) = e^Ln( f(x)^g(x) ), luego lim (f(x)^g(x)) = e^lim(g(x) Ln(f(x))



Pues tengo el libro del profesor aquí mismo y dice más o menos eso [+risas]

Si quieres paso un escaneo ;)
edu_mambo69 escribió:Aplica logaritmo neperiano:

Si lim (cos(x))^(1/sin(x)) = Y
x->o

Ln[Y]=Ln[lim (cos(x))^(1/sin(x))]


=(1/sin(x))*Ln[cos(x)]

Mira a ver si sales por ahí. En general las formas 1^infinito, 0^0, infinito^0 se resuelven aplicando Ln ;)

Saludos


Siguiendo por ahí

Si aplicas L'Hopital a ese cociente...

Ln[cos(x)] / sin(x) (0/0)

Derivando arriba y abajo...

-sin(x) / cos(x)
--------------
cos(x)

Que es igual a

-sin(x)/cos²(x)

Y cuando x tiende a cero, eso tiende a cero también.

Pues entonces, el logaritmo del límite es cero. Por lo que el límite será uno.
Zespris escribió:
edu_mambo69 escribió:Aplica logaritmo neperiano:

Si lim (cos(x))^(1/sin(x)) = Y
x->o

Ln[Y]=Ln[lim (cos(x))^(1/sin(x))]


=(1/sin(x))*Ln[cos(x)]

Mira a ver si sales por ahí. En general las formas 1^infinito, 0^0, infinito^0 se resuelven aplicando Ln ;)

Saludos


Siguiendo por ahí

Si aplicas L'Hopital a ese cociente...

Ln[cos(x)] / sin(x) (0/0)

Derivando arriba y abajo...

-sin(x) / cos(x)
--------------
cos(x)

Que es igual a

-sin(x)/cos²(x)

Y cuando x tiende a cero, eso tiende a cero también.

Pues entonces, el logaritmo del límite es cero. Por lo que el límite será uno.


L´Hopital lo aplicas a un cociente de funciones, no al cociente de un logaritmo. La filosofía detrás de L'Hopital es ver hacia donde tiende el cociente de incrementos de las funciones de origen, cuando el incremento es infinitesimal alrededor del punto donde evaluamos el límite en cuestión: L'Hopital afirma que si el cociente de incrementos infinitesimales (derivadas) se estabiliza en un valor entorno el punto del límite, este valor es también el valor del límite del cociente de funciones (siempre y cuando estemos hablando de indeterminaciones 0/0 o +/-∞).

La regla de edu_mambo sigo sin verla. Sería interesante si nos pusiese ese scan.
Estás haciendo que pierda mi respeto por ti eh... XD

La regla de edu es para resolver indeterminaciones del tipo 1^Inf.

Tu dices, el límite tal vale C.

Pues el logaritmo del límite vale ln C.

Asumiendo unas propiedades de la funcion (continuidad y creo que derivabilidad), dices que el logaritmo del límite es igual al límite del logaritmo. Es decir, conmutas los operadores.

Entonces calculas el límite, que es lo que he hecho yo.

lim (cos(x))^(1/sin(x)) = Y

ln lim (cos(x))^(1/sin(x)) = lim ln (cos(x))^(1/sin(x)) = ln Y

Y no he aplicado L'Hôpital a un cociente dentro de un logaritmo, he aplicado l'hopital a:

f(x) / g(x)

siendo f(x) = Ln(cos(x)) y g(x) = sin(x)

ya que Ln(cos(x))^(1/sin(x)) = Ln(cos(x))/sin(x)

Entonces llegas a que lim Ln(cos(x))/sin(x) = 0 = Ln Y

Como Ln Y = 0, Y = 1.
Zespris escribió:Estás haciendo que pierda mi respeto por ti eh... XD

La regla de edu es para resolver indeterminaciones del tipo 1^Inf.

Tu dices, el límite tal vale C.

Pues el logaritmo del límite vale ln C.

Asumiendo unas propiedades de la funcion (continuidad y creo que derivabilidad), dices que el logaritmo del límite es igual al límite del logaritmo. Es decir, conmutas los operadores.

Entonces calculas el límite, que es lo que he hecho yo.

lim (cos(x))^(1/sin(x)) = Y

ln lim (cos(x))^(1/sin(x)) = lim ln (cos(x))^(1/sin(x)) = ln Y

Y no he aplicado L'Hôpital a un cociente dentro de un logaritmo, he aplicado l'hopital a:

f(x) / g(x)

siendo f(x) = Ln(cos(x)) y g(x) = sin(x)

ya que Ln(cos(x))^(1/sin(x)) = Ln(cos(x))/sin(x)

Entonces llegas a que lim Ln(cos(x))/sin(x) = 0 = Ln Y

Como Ln Y = 0, Y = 1.


Todo correcto XD. Iba a borrar la chorrada anterior pero ya habías contestado, me he rallado con tanto corchete y paréntesis: el operador límite es líneal y puedes conmutar como bien dices.
Muchas gracias a todos por vuestras respuestas! [tadoramo] [tadoramo]

G0RD0N escribió:Tanto acercándote al límite por la izquierda como por la derecha, el límite tiende a 1, con lo que al estar en una dimension y por el Teorema de Cauchy, puedes afimar que el límite existe y tiende al valor de los límites direccionales.


Correcto, pero la grafica de la funcion no es trivial, necesitarias un generador de funciones.
______

Zespris escribió:Estás haciendo que pierda mi respeto por ti eh...

La regla de edu es para resolver indeterminaciones del tipo 1^Inf.

Tu dices, el límite tal vale C.

Pues el logaritmo del límite vale ln C.

Asumiendo unas propiedades de la funcion (continuidad y creo que derivabilidad), dices que el logaritmo del límite es igual al límite del logaritmo. Es decir, conmutas los operadores.

Entonces calculas el límite, que es lo que he hecho yo.

lim (cos(x))^(1/sin(x)) = Y

ln lim (cos(x))^(1/sin(x)) = lim ln (cos(x))^(1/sin(x)) = ln Y

Y no he aplicado L'Hôpital a un cociente dentro de un logaritmo, he aplicado l'hopital a:

f(x) / g(x)

siendo f(x) = Ln(cos(x)) y g(x) = sin(x)

ya que Ln(cos(x))^(1/sin(x)) = Ln(cos(x))/sin(x)

Entonces llegas a que lim Ln(cos(x))/sin(x) = 0 = Ln Y

Como Ln Y = 0, Y = 1..


[tadoramo]

Interesante, no habia contemplado esa opción (tampoco sabia que se podia hacer)

Muchas gracias!

Un saludo!

EDIT: Y si Gordon ya da el visto bueno, esta bien por huevos :)
Lo de edu es correcto sólo si se plantea que el límite exista no?.. No sé si lo he soñado pero recuerdo haber visto ejemplo en lo que hacías eso y te daba un supuesto resultado pero luego resultaba que el límite no existía...

Un saludo
Claro, si el límite no existe, no puedes aplicar la propiedad de conmutatividad.
Zespris escribió:Claro, si el límite no existe, no puedes aplicar la propiedad de conmutatividad.


No pero me refiero a lo de antes.. Cuando dices Lim[···]=Y asumes que esa Y es un número, esa es mi duda, que si al hacer esto estás asumiendo que el límite exista, yo es que recuerdo que a veces plantear esto llevaba a error aunque de esto ya tanto tiempo que siempre que son cosas de cálculo básico se me lían las cosas..
Por otro lado creo que cuando dices lo de conmutar no es porque el límite exista sino porque el límite es un operador lineal..
Un saludo
Me parece que tenías que asegurarte primero que era un límite evaluable, en plan 0^0 o 1^Inf, si no, ya de base tenemos el problema. Aunque no estoy seguro de esto último.
Veo que se ha desecho el entuerto, y sobretodo cómo se ha desecho...Gracias que yo tambien tenia mis dudas después de echarme abajo la teoría en los primeros post [+risas]
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