Hola, pues realmente las descargas de Xbox Live (ya sean juegos, temas, dlc.... etc) se asocian tanto a la consola como al gamertag, es decir tu en la consola donde los compraste y los bajaste, los podrás usar con cualquier Gamertag logueado, esté o no conectado al Live (es lo de las licencias), y para usarlos en una consola distinta a la que te los bajaste, deberás usar el Gamertag que los compró y estar conectado al Live para poder usarlo.
Si no quieres depender del Live para usar lo que te hayas bajado, deberas entrar en la Web de Xbox, y ahi cambiar las licencias de tu gamertag y asociarlas a la nueva máquina, y así ya seria como si los hubieses bajado en la nueva directamente (aunque esto hay que hacerlo con cuidado, pues Microsoft solo permite hacer el cambio de licencias entre máquinas 1 vez cada año para un mismo gamertag)
Salu2