Veamos... al margen de gustos a la hora de escribir html (que los hay como los culos, cada uno tiene el suyo), lo que quieres es un servicio que dan algunos servidores para tus paginas privadas.
El metodo que usas, recurre a el gestor de correos del cliente (el que ve la pagina vamos), mientras que el "oculto" que tu pretendes usa un programa residente en el servidor. Ese programa puede estar escrito en cualquier lenguaje (ojo, no en html) como php, java, phyton, etc... y en esos casos la pagina HTML usa como "post" una llamada a ese programa, que envía al correo del usuario de la pagina usando un formato de texto plano por lo general relleno con los contenidos del formulario.
Este servicio no obstante, no esta disponible en todos los servidores para alojamientos gratuitos, una opción posible es usar alguno de los multiples servicios de alojamiento gratuitos que usan servicios como mysql y php, lenguajes que van "empotrados" como fragmentos de codigo en el html, pero que se procesan y gestionan en el servidor y que el cliente no puede ver