Pregunta fácil de contestar con las cosas en la mano y contigo delante y difícil aquí, pero se intentará.
La primera imagen que pones es una fuente de alimentación (yo también la llamo transformador, no te creas, pero yo me entiendo a mí mismo

). La caja lleva el transformador, que es un par de bobinas enrrolladas en unas láminas de metal, y un rectificador.
El transformador transforma la corriente de 220 Voltios (V) a X voltios, por ejemplo 5. El rectificador transforma la corriente de alterna a continua. La continua es la que dan las pilas.
La segunda imagen que pones es la de un macho con toma de tierra de 220 V normal.
Si quieres alargar la toma del transformador para poder cargar el móvil en tu mesa de noche por que el enchufe de la pared está en el salón, por ejemplo, tienes que buscar la hembra del conector que no has puesto del transformador, o sea, la parte que enchufas al móvil, soldarle un cable más largo y soldarle al final otro macho como el original que entra en el móvil. También puedes cortar el cable por la mitad y soldarle uno en medio con el tamaño que necesites.
Si quitas esa caja grande negra y pones el enchufe normal de toda la vida pues le meterás 220 V a lo que sea que conectes el transformador, o sea, que es como si cortaras el cable y pusieras el cable directamente a la pared con el móvil detrás.
Di que quieres hacer exactamente y te explico mejor, o más concretamente a lo que buscas, que cada cosa tiene su intrínsecus o como se diga

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Enga, nos vemos.