claro, estas conectando mall.Lo que estas haciendo es concetar por el cable de telefono y con ese no sirve(creo), por eso te sale el mensaje de que el cable de red no esta conectado, porque no hay nigun cable de red,, entonces lo que tienes que hacer es comprar un cable de red cruzado para conectarlo de pc a pc,, y un cable de red normal para conectarlo del router wifi al pc nuevo.
Aunque es mas práctico conectarlo por wifi, si esque en el pc nuevo tienes un adaptador wifi.