En Bancaixa (Carnet Jove) yo creo que la tengo desde los.... 16? Eso si, es de débito, vamos, que si tienes 100€ en la cuenta, sólo puedes gastar esos 100. No me acuerdo de cuando fui, pero no tengo en mente que me acompañasen... pero si lo vendes como algo positivo (ahorro, descuentos en cines, control, etc...), tus padres no deberian oponerse...
De todas formas, estas cosas se solucionan rápido yendo a tu banco a preguntar. Pregunta bien si te cobran o no por la emisión de esa tarjeta.
Y no os escandalicéis, que no es para tanto, es simple dinero en plástico y no en papel, muy cómodo y mucho más seguro en caso de robo... y el control paterno es el mismo, si luego el chaval guarda el dinero debajo del colchón o en un banco es indiferente.