PROBLema de Mates...

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dice:

Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto de interseccion de las rectas x+2y-4=0 y 4x-y-2=0 , tal que forman con el primer cuadrante un triangulo de área 25u(cuadrado porq no se saben las unidades)

pues eso, no me sale... a ver si sabeis.. decidme todo el proceso asi resumidillo sin operaciones si sabeis hacerlo.. asias
Hola!

Yo lo que haría es plantearme esa recta en genérico (y=mx+n) y, como te dicen que el área ha de ser de esta recta con el primer cuadrante, impones que la integral de esta recta entre 0 y un punto 'x0' que desconoces = 25. Te saldrá una ecuación con las incógnitas m, n y x0, lineal en m y n que es lo que interesa.

Por otra parte sabes el punto de esa recta que buscas, que es la intersección de las rectas que te ponen. Imponiendo que este punto cumpla la ecuación de la recta que buscas (y=mx+n) tendrás otra ecuación lineal en m y n, que junto con la otra ecuación, ya tienes un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas m y n, que quedarán en función del parámetro x0 (supongo que de ahí sale que te digan "hallar las ecuaciones de las rectas"...)

Un saludo
Veamos si a base de pistas va saliendo XD .

Empieza por hallar el corte de esas rectas. Después, aplica la ecuación del haz de rectas que pasan por un punto. La recta que buscas tiene esa forma :) .

Vuelve por aquí si no te sale, pero inténtalo antes ;) .
Imagen editada, hay un error.
Rein, la 2ª ecuación no la has planteado bien ;) . La ecuación del haz de rectas que pasan por un punto es (x - x0) = m (y - y0). Conocido el punto, el único parámetro que queda es la pendiente.

En nuestro caso, sería (x-8/9) = m(y-14/9)
Maestro Yoda escribió:Rein, la 2ª ecuación no la has planteado bien ;) . La ecuación del haz de rectas que pasan por un punto es (x - x0) = m (y - y0). Conocido el punto, el único parámetro que queda es la pendiente.

En nuestro caso, sería (x-8/9) = m(y-14/9)


es verdad, tienes razón, lei en el enunciado "buscar la recta" en vez de "buscar el haz de rectas". Gracias por el aviso!!!!


Para que no haya confusiones voy a quitar la imagen!

un saludo.
Llegados a ese punto, la solución es relativamente fácil. Hay que calcular, como dices en la imagen, los puntos de corte con los ejes, lo que se hace tomando x=0 para averiguar la y, e y=0 para la x:

-8/9 = m(y-14/9) -> y= -8/(9m)+14/9
x - 8/9 = -m 14/9 -> x=8/9- m 14/9

El área del triángulo será x*y/2. Sólo falta plantear esa ecuación (igualándola a 25), y despejar m.
Maestro Yoda escribió:Llegados a ese punto, la solución es relativamente fácil. Hay que calcular, como dices en la imagen, los puntos de corte con los ejes, lo que se hace tomando x=0 para averiguar la y, e y=0 para la x:

-8/9 = m(y-14/9) -> y= -8/(9m)+14/9
x - 8/9 = -m 14/9 -> x=8/9- m 14/9

El área del triángulo será x*y/2. Sólo falta plantear esa ecuación (igualándola a 25), y despejar m.


Creo que aquí falla algo. Si impones esto estás forzando una solución y su simétrica, pero de hecho hay una infinidad (todo un haz de rectas como piden). Me explico: estamos de acuerdo que cuando x=0 => -8/9 = m(y-14/9) -> y= -8/(9m)+14/9 dependiendo de m y que cuando y=0 => x=8/9- m 14/9, pero si impones x*y/2 creo que estás añadiendo una "propiedad" más que el área del triángulo: con esto obtienes 2 valores de m, es decir, 2 rectas pero por ejemplo:

Y=39986/151 - 44720X/151
Y=1586/23 - 1744X/23
Y=9986/71 - 11110X/71

son rectas que tienen como area 25 y en X=8/9, Y=14/9. Todas salen de ir dando valores a x0 a este haz de rectas:

Y=2(7·x0^2-200)/x0·(9·x0-16) - 2·X(14·x0-225)/x0·(9·x0-16)

Además, las rectas serán del 1er cuadrante cuando (14·x0-225)/x0·(9·x0-16)<0 (pendiente negativa del haz).

También es posible que se me haya ido un poco la olla resolviendo esto [fumando] . Un saludo!
G0RD0N escribió:Creo que aquí falla algo. Si impones esto estás forzando una solución y su simétrica, pero de hecho hay una infinidad (todo un haz de rectas como piden). Me explico: estamos de acuerdo que cuando x=0 => -8/9 = m(y-14/9) -> y= -8/(9m)+14/9 dependiendo de m y que cuando y=0 => x=8/9- m 14/9, pero si impones x*y/2 creo que estás añadiendo una "propiedad" más que el área del triángulo: con esto obtienes 2 valores de m, es decir, 2 rectas pero por ejemplo:

Y=39986/151 - 44720X/151
Y=1586/23 - 1744X/23
Y=9986/71 - 11110X/71

son rectas que tienen como area 25 y en X=8/9, Y=14/9. Todas salen de ir dando valores a x0 a este haz de rectas:

Y=2(7·x0^2-200)/x0·(9·x0-16) - 2·X(14·x0-225)/x0·(9·x0-16)

Además, las rectas serán del 1er cuadrante cuando (14·x0-225)/x0·(9·x0-16)<0 (pendiente negativa del haz).

También es posible que se me haya ido un poco la olla resolviendo esto [fumando] . Un saludo!

No tiene nada de extraño :P .

Si tomas las ecuaciones que valen x e y respectivamente, y aplicas la relación x*y/2=25, te sale una ecuación de 2º grado con una incógnita (m). Por lo tanto, hay dos soluciones :) .

Edito: si no hay manera, mañana pongo la solución completa [+risas] .
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