Wola!
Realmente tu pregunta de las asíntotas no la he entendido muy bien, pero el concepto de asíntota horizontal es aquel valor de y en el cual se estabiliza la función "en el transcurso de las x" (quiero decir, que la y se estabiliza y tiende a un valor en concreto cuando la x tiende a + - infinito). Esto no significa que en otras x la función localmente no pueda valer y=1, no sé si me explico. Imagínate la función y=x^2: en x=1 y x=-1 la y vale 1, pero imaginemos que esta función cuando la x tendiese a infinito también se estabilizase y valiese 1, con lo que tendríamos una asíntota horizontal en y=1, aunque localmente en x=+-1 la y valía también por casualidad 1.
Por lo que respecta al problema, supongo que la función que has encontrado después de derivar, igualar a cero y simplificar el carro de fracciones y raíces que hay por ahí es x^4+4x^3-36x-144. Si haces Ruffini, hay una raíz en x=-4 y los coeficientes de Ruffini que te quedan son 1 0 -36. Aquí efectivamente ya no se puede seguir haciendo Ruffini, pero si reconstruyes esta ecuación es x^3 - 36=0, donde es fácil obtener la solución x=6^(2/3)=3.302, que es la buena, ya que la otra raíz es negativa y no tiene sentido en este problema. La longitud mínima de la escalera con esta x a mi me da 9.865m; si no te da lo mismo te escribo mi ecuación de optimización y averiguamos dónde podemos tener el fallo, aunque me da que esta parte del problema ya la tienes más segura que yo, jeje.
Un saludo
![[bye]](/images/smilies/nuevos2/adio.gif "adios")
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que cuando derivo me salen lineas de ecuaciones con variables elevadas a la cuarta e intentando despejar con ruffini me sale casi imposible ya que el termino independiente me da 144. 