Duda Matematica

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Buenas pues estudiando mate me han surgido un par de dudas,

la primera el principio de induccion tal que en esta formula

1 + 2 +2^2 +....+ 2^n=(2^(n+1))-1


y como reducir a la reducción al absurdo esta formula


n^5 + 3= numero impar si n es par


si podeis explicarme las dos cosas os lo agradeceria eternamente ya que mi profesor de mate habla raro y no le entiendo muy bien XD
1º ejercicio:

La pregunta que te planteas es si la suma de 2^i , donde i va de 0 a n, es igual a 2^(n+1) - 1 .

Primera parte de la demostración por inducción: ¿se cumple el caso base? 2^0 = 2^(0+1) -1 = 1. Se cumple.

Segunda parte: suponiendo cierto el caso para n, ¿se cumple para n+1? Si fuera cierto, 2^(n+1) -1 , que es el caso para n, sumado a 2^(n+1), que es el término que añadimos a la suma si pasamos de n a n +1, debe ser igual a lo que la fórmula predice. Es decir, igual a 2^(n+2) -1. Vamos a verlo:

2^(n+1) -1 + 2^(n+1) = 2 * 2^(n+1) -1. Como la base de la potencia es dos, volver a multiplicar por 2 es como sumarle 1 al exponente, luego se verifica la fórmula y acaba la demostración.



2º ejercicio: este es muy fácil. Si tienes n par, siempre que lo multipliques por sí mismo saldrá otro número par (en general, un número n par por otro m par siempre dará un producto par). Por tanto, n^5 es par si n es par. Y si a un número par le sumas otro impar, tendremos siempre número impar.
muchisimas gracias maestro yoda :D me ha quedado la induccion muy clara aunque lo de la demostracion al absurdo le rpeguntare mañana al profesor porque bueno, entiendo los casos especificos pero al aplicarlo a uno me pierdo... podrias ponerme una demostracion matematica de lo de la reduccion si no te importa? [360º] gracias!!

editado

ahora que lo miro despacio no entiendo porque a 2^(n+1) - 1 le sumas un 2^(n+1)
demostrar por absurdo es muy simple. demuestras algo razonando que lo contrario no tiene sentido (ej si una igualdad es única, intentas demostrar que no lo es)

por supuesto no sirve para todo. es muy sencillo una vez le coges el punto
en este ejemplo

#

emostremos que k - 1 también satisface la proposición (*), es decir, demostremos que:

1+2+3+.........+k+(k+1) = (k+1)(k+2).

2

Demostración:

(1+2+3+.......+k)+(k+1) = k(k+1) + (k+1)

2

no entiendo porque se suma k+1 a los dos lados

siendo la proposicion original

1+2+3+............+n = n(n+1),

a mi me parece que deberia ser

1+2+3+...+k+1 = k+1(k+2).. esto es un lio XD


http://html.rincondelvago.com/induccion-matematica.html
A ver, me parece que no te enteras de la induccion... si quieres resolver un problema que va en funcion de n, primero demuestras que se cumple para n = 1. Despues planteas como hipotesis cuando n = k e tienes que demostrar que se cumple para n = k+1. No tiene mas vuelta de hoja...

EDITO: con respecto a tu duda de porque se suman los k+1. Tienes la ecuacion planteada en terminos de k y quieres llegar al siguiente paso de k+1. Lo mas inmediato para llegar es sumarle un k+1 :P
a ver lo que me lio es en lo siguiente

si tienes

1 + 2 +k

y quieres ver en k + 1
porque se pone 1 +2 +k +(k+1)

en vez de 1 +2 +(k +1)
Como he puesto en el editado, tienes la siguiente ecuacion como hipotesis:

1+2+3+.........+k = k(k+1)

y quieres llegar a demostrar lo mismo pero con k+1:

1+2+3+.........+k+(k+1) = (k+1)(k+2)

Pues lo mas inmediato es sumarle k+1 a ambos terminos de la ecuacion e ir desarrollando hasta llegar a que el segundo miembro es igual a (k+1)(k+2).
mm gracias demon ya casi lo he cojidoahora ya la ultima duda es que maestro yoda hace esto:


2^(n+1) -1 + 2^(n+1) = 2 * 2^(n+1) -1

suma 2^(n+1) en un lado, y en el otro lo multiplica por 2 :-\
a+a = 2a :P

Date cuenta de que lo que esta sumando ya esta, lo ha reducido directamente...
lo entendi :D ahora lo pillo bien, si tienes n y quieres mirarlo para el siguiente pues sera n y n+1 dado que es el numero y su inmediato posterior asique si tienes 1/n se le sumaroia 1/(n+1) o log n + log (n+1) y cosas asi, no?
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