Es como te comentan, cuando te dan una función que sea un valor absoluto, primero conviertela a una función definida a intervalos, y luego ya trabajas sobre esa. Por ejemplo para derivar |x-1|, dices que f(x) = x-1 si x>1; y f(x) = 1-x si x<1. Tonces f'(x)=1 si x>1, y f'(x)=-1 si x<1. MUY IMPORTANTE, tienes que hacer ahora la derivabilidad en el límite. Qué es necesario para que una función sea derivable en el límite? (en este caso en x=1, que es donde está la discontinuidad) Pues tiene que ser contínua y derivable. Para que sea contínua, le tienes que hacer los límites laterales, ver que coinciden, y ver que coinciden con la imagen calculada (f(x)). Y para que sea derivable, pues tienes que hacer lo mismo, las derivadas laterales, y ver si coinciden. Si una función no es contínua en un punto, no puede ser derivable en dicho punto. Así que por eso se hace primero la continuidad, pq es requisito imprescindible para que sea derivable. En los valores absolutos tienes 2 opciones, que sea derivable siempre, o bien que sea derivable siempre excepto en la discontinuidad (cosa que hallaras una vez hayas hecho el procedimiento anterior).
Si no te enteras de algo pregunta, que mi cálculo está un poquillo oxidado, pero básicamente recuerdo lo que había que hacer
EDITO: para la integrabilidad, divides otra vez en 2 integrales, y pones los límites correspondientes, o sea Integral de (x-1) entre menos infinito y 1; más la Integral de (1-x) entre 1 e infinito. Al tener la integral carácter de suma de intervalos infinitamente pequeños, no creo que pase nada por dejarte fuera el x=1. Vamos, al menos no se me viene a la cabeza ahora mismo haber hecho estudios de integrabilidad para un valor en concreto.
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