un "regalito" hp, qe no rula

No se cómo se puede derramar la tinta, (me imagino que por rellenar los cartuchos).
De todas formas, intenta limpiarla con esos bastoncitos de algodón y un poco de alcohol.
Suerte.
P.D:
Aparte de limpiar la tinta, limpia con el bastóncillo los contactos de los cartuchos y mira en el manual la forma de hacer un auto-test, para hacer esto no necesitas el pc y asi sabras si la impresora funciona.
Normalmente se hace con la impresora apagada y apretando algun botón o combinación de ellos y encendiendo la impresora sin dejar de apretar los botónes.
Suerte

Si tenía la tinta derramada es porque los cartuchos venían abiertos. Es nueva la impresora? si lo es pide explicaciones al vendedor. Si no es nueva, ya depende de si era tuya y te la han devuelto, la compraste de segundas, etc. Di algo más para poderte ayudar.

Respecto a limpiarla tu, por supuesto, métele mano sin miedo, pilla un rollo de cocina y pásale bien por los exteriores. Para los cartuchos y el interior prueba con bastoncillos pero con delicadeza. Lo más "frágil" son los cartuchos, que al ser HP llevan los inyectores integrados. Esto te da la ventaja de que si le metes mano a la impresora, no romperás los inyectores porque no los lleva. Es una ventaja ya que si fastidias los cartuchos, unos nuevos te llevarían el inyector nuevo.
Este es el motivo de que los cartuchos HP sean algo más caros q los d HP, pero te duran más. En definitiva, métele mano sin miedo q no hay peligro.