¿Escuchas la radio con el navegador? :S Si lo que escuchas está en el TuneIn Radio te recomiendo esa app.
Lo del navegador, puede ser que alguna actualización del navegador haya cambiado algo, o en la propia web para ahorrar recursos. El comportamiento normal de cualquier app al apagar la pantalla es dejar de funcionar, salvo que explícitamente lancen un reproductor en segundo plano y lo mantengan o impidan que la tableta entre en suspensión.
También puedes probar con otros navegadores a ver, Chrome, Firefox...
Si reinicias de fábrica se te queda como la compraste (conservando las actualizaciones de firmware, pero con las mismas apps de serie, claro), pero no creo que sea la solución en absoluto.