Problema de Congruencias

Wenas, no sabía donde preguntar esto, asi q he decidido ponerlo aqui. Si no fuera el sitio correcto... pues ya sabeis...

El caso es q tengo una duda sobre congruencias (concretamente sobre unas q tengo resueltas, asi q el resultado, en principio, está bien)
Vereis, si tengo esta congruencia:

5X≡6(mod 7)

Como 5 es primo con 7, entonces puedo encontrar el inverso de 5 haciendo esto:

A*5≡1(mod 7) <-> 3*5=15≡1(mod 7)

Entonces: X≡18≡4(mod 7)

Hasta aqui todo bien. El problema llega cuando tengo otra congruencia como esta:

9X≡-3(mod 15)

Como 9 no es primo con 15, y tienen divisor/es comunes distintos del 1, entonces no puedo encontrar el inverso de la forma anterior, por lo que divido todo por 3 (que es el mcd(9,15)) y quedaría esto:

3X≡-1(mod 5)

(Supongo que si la congruencia inicial fuera por ejemplo 9x≡-4(mod 15), entonces no tendría solución porque no se puede dividir por el mcd(9,15)) <---- ¿esto es cierto?

Entonces encontramos el inverso: B*3≡1(mod 5) , B=2 (el inverso es 2)
Multiplicamos al otro lado, despejando la X, y queda:

X≡-2≡3(mod 5)

Esto tiene 3 soluciones:
X≡3(mod 15)
X≡8(mod 15)
X≡13(mod 15)

De esto saco la conclusión siguiente:
Si M≡N(mod P), entonces M≡N(mod P*k) (siendo k cualquier entero), y también M≡N+P*q(mod P*k) (siendo q cualquier entero)

¿Esta conclusión es cierta? Yo sobretodo no veo claro lo de la parte final, esa de que como X≡3(mod 5), entonces tiene 3 soluciones para mod 15.

Esto no lo tengo claro, pq por ejemplo, si tomamos el ejemplo de un reloj, fijandonos en la 1:00, entonces:
Si 1≡13(mod 12) (M=1, N=13, P=12), entonces 1≡13(mod 24) tendría que ser cierto, pero no lo es!