1. El preaviso es por parte del trabajador, que si no lo hace le descuentan los días correspondientes de preaviso que no haya dado.. El empresario si te ha despedido debe pagarte lo que te deba (parte de las pagas extras si las tuvieras y aún no has cobrado, por ejemplo) y si fuese un despido improcedente la indemnización correspondiente.
2. Por alegar puedes alegar lo que quieras, pero seguramente te hayan hecho un despido procedente, y si denuncias puedes aspirar al improcedente, cuya indemnización dependerá del tiempo que lleves, que si es poco, no te merecerá la pena. También podrías conseguir la nulidad y que te tengan que readmitir, pero eso se suele dar solo en casos de vulneración de derechos fundamentales (despido por hacer huelga, estando embarazada, por razones de racismo u orientación sexual, etc.)
3. En principio y si nadie me corrige es así. Pide cita en el paro, y cuando vayas a la cita seguramente ya estés en el otro sitio pero te pagarían esas dos semanas. Ahora, ¿Te merece la pena? date cuenta que si empiezas a cobrar el paro, y tuvieras por ejemplo 4 meses acumulados, si empalmas un trabajo con otro seguirás acumulando. En cambio, si cobras esas 2 semanas, te quedarán 3 meses y 2 semanas y en tu nuevo trabajo empezarás a acumular un nuevo paro, con lo que si te echan cuando hayas acumulado otros 4 meses, en vez de tener 8 meses (que tendrías si empalmas ambos curros) te darán a elegir entre los 4 meses acumulados en el nuevo trabajo o los 3 meses y 2 semanas del anterior. No se si me explico...
4. Siempre me han dicho que no firme nada por que no es necesario, o firmar con un "no conforme". De cualquier forma reclamar siempre se puede reclamar, pero te tendría que asesorar un abogado. Como siempre si llevas poco tiempo lo que puedas ganar seguramente no te compensa, pero eso ya lo tienes que decidir tú.
). Así que mira bien qué condiciones debe cumplir cada tipo de despido, qué se puede reclamar y todo eso. 