Click derecho -> Guardar imagen como
Te refieres a que al verlo con el Windows Image wiewer ese (el que trae por defecto para ver imágenes) no se mueve, simplemente ábrelo con el navegador y listo. Comprueba esto que te digo (arrastra un gif que te hayas descargado a una ventana de tu navegador favorito) y si no se mueve, miramos a ver qué problema puede ser, pero vamos, creo que es simplemente esto: el visor de Windows no soporta gif (en Vista y creo que en 7 tampoco, CREO).