la ip privada claro que se puede cambiar, y poner la que queramos de manera que siempre sea esa, al igual que la no privada (si la tenemos dinámica con apagar el router nos vale para "intentar" cambiarla), no hay mas que ir a inicio->panel de control->conexiones de red ->y propiedades de la conexión que tengamos, en el cuadro que nos salga, marcamos protocolo internet (TCP/IP) y le damos al botón propiedades, seguramente tengas marcada la opción de obtener una dirección ip automáticamente, marcas la otra, viendo que la dirección ip de tu router presumo que es 192 168 1 1 le pones:
Dirección IP 192 168 1 11 (por ejemplo este ultimo numero puede variar desde el 2 al 255 reservando el 1 para el router)
mascara de subred 255 255 255 000
puerta de enlace 192.168.1.1 (la dirección ip del router)
en servidores DNS tendrás que poner los que te haya dado tu proveedor de internet.
aqui te dejo algunos, de los que he tenido yo, de todas formas buscando en google por "servidores dns", seguro que encuentras alguno mas
Telefonica 80.58.61.250 80.58.61.254
Orange 62.37.228.20 62.37.225.150
ya.com 62.151.2.8 62.151.8.100
saludos y suerte.