AYUDA Matriz de cambio de base

Yo no tengo idea de mates, pero te subo el hilo para que no se hunda.

Paco_Schumi escribió:Hola compañeros de fatigas:(

Como sabéis en época de exámenes es cuando mas dudas salen XD

A mi me ha salido una en álgebra lineal, a ver si me podéis echar un cable.

El problema es con la matriz de cambio de base, en los espacios de R^n ó P^n no tengo problema, el problema es con los espacios de matrices.

En los apuntes y el libro no he visto ningún ejemplo, pero estoy mirando exámenes anteriores y si que han caído.

A mi me enseñaron el método de poner las bases así:

[B1 | B2] ---f---> [In | B2->B1]
Orden nx2*n

Y cuando me dan una base de un espacio de matrices, claro los vectores son matrices, y no tengo ni idea de como calcular la matriz de cambio de base.

A ver si me podéis echar una mano que estoy desesperado.:(

salu2!

¿Podrías poner un ejemplo de uno de esos ejercicios? Es que si sólo te piden que expreses una cierta base (de matrices) en función de otra base, yo creo que lo que "sólo" te piden es que lo hagas "a mano" a base de ir haciendo combinaciones lineales.

Si vuestro temario de álgebra se mete en álgebra tensorial y aplicaciones multilineales, entonces por ahí debería haber teoría relacionada... La cuestión es que diría que con álgebra de aplicaciones lineales (el método que has puesto de [B1 | B2] ---f---> [In | B2->B1]) no puedes abordar este tema de cambios de base entre "espacios vectoriales de matrices" (mejor dicho, espacios tensoriales ), ya que subes "un nivel". Pasas de trabajar con vectores a trabajar con algo más general: tensores.

Si es lo primero y no ves claro qué he querido decir con lo de hacerlo "a mano a base de hacer combinaciones lineales", te pongo un ejemplo. Un saludo

Creo que no damos nada de tensores y cosas de esas, al menos el profesor no ha dicho nada de eso.

El ejercicio primero es una aplicación T: M2x2 --> R Y te dan la base de M2x2 y unas aplicaciones para calcular la matriz canónica de T.

Luego dan otra base de M2x2 y piden la matriz de cambio de base de la base B (que llaman canónica) a C, y viceversa.

La base B son 4 vectores, matrices de 2x2 con 0, salvo en una posición, y en cada vector va rotando, hasta estar en todas las posiciones.

Las base B2 también tiene cuatro vectores:

c1= [1 0] c2=[ 0 1] c3 = [1 0] c4 =[0 0]
[0 0] [1 0] [1 0] [0 1]

En la solución pone que b1=c1; b2 = c1 + c2 - c3; b3 = -b1 + b3 y b4 = c4

Hasta ahí lo entiendo, pero luego pone que la matriz de cambio de base de B a C es esas relaciones por columnas, es decir:

1 1 -1 0
0 1 0 0
0 -1 1 0
0 0 0 0

No se en que se fundamenta para decir eso :S

salu2 y muchas gracias por la ayuda![bye]

pd. perdón si sale mal, es que los espacios en blanco no salen bien donde deberían

donde estudias? en mis apuntes de la etsii de sevilla creo recordar que venia bien explicado.

De todos modos explicado asi se me hace un poco (mucho) dificil de ver, si puedes poner una captura...

Estudio ITI Mecánica en la Carlos III de Madrid

Aquí van las capturas, si necesitas de la solución también las pongo:





salu2!

edit: La primera imagen se ha cortado, en la primera línea del enunciado, al final falta orden.

Vaya, ahora ya lo he visto mucho más claro .

Bueno, el tema es que una matriz de cambio de base lo que expresa son las coordenadas de una base expresada en otra cierta base: aquí la palabra clave es coordenadas. Las coordenadas siempre serán vectores, aunque los elementos de tu espacio vectorial sean matrices. Me explico: imaginemos que estamos en un espacio vectorial R^2, sea ui ={ u1 , u2 }={ (2,1) , (-1,0) } una base del mismo y ei ={ e1 , e2 } la base canónica. Las coordenadas de e1 y e2 expresadas en la base { u1 , u2 } son respectivamente { (0,-1) , (1,-2) }. Así, en este caso la matriz de este cambio de base son, por columnas, las coordenadas de la base canónica expresadas en la base u :

[ 0 1 ]
[-1 -2]

Ahora pasemos a tu caso. Llamemos ui la base de matrices que te dan y ei la base canónica de M2x2(R). Las coordenadas de e1 en la base ui son (1,0,0,0), las de e2 son (1,1,-1,0), etc. Así, la matriz de este cambio de base es poner por columnas las coordenadas de la base ei en función de la base ui , es decir, la matriz esta que no veías de donde salía.

Una de las claves del álgebra lineal y que muchas veces se pierde de vista es que todo el rato se trabaja con las coordenadas de los elementos de los espacios vectoriales y no con los elementos de estos espacios en sí. Como normalmente se trabaja con espacios vectoriales cuyos elementos son vectores (y no polinomios o matrices), se puede llegar a perder la perspectiva y pensar que trabajamos con estos vectores directamente (sobretodo cuando se trabaja en base canónica), pero no es así: siempre traducimos estos vectores a coordenadas en función de la base que en que trabajemos en ese momento y las coordenadas siempre serán vectores.

Espero haber aclarado algo . Un saludo!

Es decir, que mi matriz de cambio de base, seria la combinación lineal de la base canónica en función de cualquier otra base?

Algo si que me has aclarado, gracias!!

salu2!

Yo tengo examen de esto el lunes y la verdad estoy perdidisimo, porque los apuntes de mi facultad asi como mi profesor deja mucho que desear, y la verdad la unica parte que no comprendo de la materia es exacmente esto de los cambios de bases y endomorfismos...

Paco_Schumi escribió:Es decir, que mi matriz de cambio de base, seria la combinación lineal de la base canónica en función de cualquier otra base?

Efectivamente ! Y es que, como ya sabes, las coordenadas no son más que los coeficientes que salen de expresar la base canónica como combinación lineal de la base que te dan. Por eso, por mucho espacio vectorial de matrices que tengas, al final con lo que trabajas son con las coordenadas de estas matrices, es decir, con los "vectores de coeficientes" que salen de tradicir una matriz como combinación lineal de una base de matrices. En la siguiente matriz debería verse bien el concepto: cada columna es el vector de las coordenadas (componentes de la combinación lineal) en la base u de cada vector de la base canónica.



Es decir, que si queremos saber las coordenadas en la base canónica de unas coordenadas en base u , multiplicamos por esta matriz de cambio de base, que es en realidad hacer combinaciones lineales a saco:



Y todo esto independientemente de qué elementos conste el espacio vectorial. Si te dijesen: oye mira, tengo esta matriz expresada en la base u ; exprésamela en base canónica. Pues ahora sí que está claro: pillas las coordenadas en base u de esa matriz, multiplicas este vector de coordenadas por la matriz de cambio de base, con lo que obtienes un vector de coordenadas en base canónica, que son las coordenadas de la matriz que buscas pero en base canónica.

Bueno, no te rallo más; ahora a clavar ese examen, jeje. Un saludo.

asdemb escribió:Yo tengo examen de esto el lunes y la verdad estoy perdidisimo, porque los apuntes de mi facultad asi como mi profesor deja mucho que desear, y la verdad la unica parte que no comprendo de la materia es exacmente esto de los cambios de bases y endomorfismos...

UFF, pues métele caña porque ya habrás visto que es uno de los núcleos de la asignatura junto con la teoría de aplicaciones lineales. Yo siempre que había un ejercicio de cambios de base me pintaba un diagrama de flechas muy rápido de hacer y que servía para pasar de cualquier base a cualquier otra sin pérdida. Si no te lo han enseñado y es necesario ya lo pongo aquí. Un saludo!

Muchas gracias por la ayuda G0RD0N, a ver si mañana sale bien el examen y a asdemb también.

Ya contaré que tal ha ido

salu2!!

y bien?

Buenas!

Pues creo que el examen me salió bastante bien, aunque ya sabéis en esto de la uni.. piensas que te ha salido bien y luego sacas un uno.

Al final me pidieron hacer la matriz de cambio de bases de un espacio de polinomios de hasta grado 3, osea que era bastante sencillo...

Estoy deseando que saquen la nota.. si hasta he soñao y todo con ella sacaba un 8,9

Cuando me la digan os la posteo

salu2!!

A mi me han crujido por ambos lados, un 2,5