Saludos.
Disculpa si no te he explicado demasiado las cosas, eso sí que es error mio, por partes:
Los grupos son "zonas" donde metes a tu usuario para tener ciertos permisos y privilegios... Por ejemplo, si estás en el grupo audio, podrás manejar los controles de volumen, como subirlo o bajarlo. Con el comando groups lo que haces es ver en qué grupo te encuentras. Siguiendo con el mismo ejemplo, imagina que no puedes subir el volumen al no estar en el grupo audio: Entonces harías un groups para ver si estás en tal grupo, y asegurarte de que ese es el problema.
El segundo comando lo que hace es añadir a tu usuario al grupo disk, el cual, entre otras cosas, te da permisos para la extracción segura sin mensajes de error (al menos en Arch Linux, y supongo que en ubuntu será igual). Lo que no entiendo es por qué cuando haces groups no sale el grupo disk, y sin embargo cuando te añades te dice que ya estás metido. Si ese no es el problema, me temo no poder ayudarte, lo siento...
Espero que ahora te haya quedado claro, y si tienes más dudas no dudes en preguntar.
Requiescat In Pain.